Com calcular l’àrea d’un paral·lelograma construït sobre vectors

En qualsevol dos vectors no col·liners i nuls, es pot construir un paral·lelograma. Aquests dos vectors contrauran un paral·lelograma si combina el seu origen en un moment. Acaba els costats de la figura.

Manual d’instruccions

1

Cerqueu les longituds dels vectors si se'ls dóna les coordenades. Per exemple, el vector A tingui coordenades (a1, a2) al pla. Aleshores la longitud del vector A és | A | = √ (a1² + a2²). De la mateixa manera, trobem el mòdul del vector B: | B | = √ (b1² + b2²), on b1 i b2 són les coordenades del vector B al pla.

2

L’àrea del paral·lelograma es troba mitjançant la fórmula S = | A | • | B | • sin (A ^ B), on A ^ B és l’angle entre els vectors A i B. El sinus es pot trobar a través del cosinus utilitzant la identitat trigonomètrica bàsica: sin²α + cos²α = 1. El cosinus es pot expressar en termes del producte escalar de vectors escrits en coordenades.

3

El producte escalar d’un vector A per un vector B es denota per (A, B). Per definició, és igual a (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). I en coordenades, el producte escalar s’escriu així: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. A partir d’aquí podem expressar el cosinus de l’angle entre els vectors: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). Al numerador, el producte escalar, al denominador, les longituds dels vectors.

4

Ara podem expressar el sin a partir de la identitat trigonomètrica principal: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Si suposem que l’angle α entre els vectors és agut, el menys amb el si es pot descartar, deixant només el signe més, ja que el sinus de l’angle agut només pot ser positiu (o zero a l’angle zero, però aquí l’angle no és zero, es mostra en la condició no collinealitat de vectors).

5

Ara hem de substituir l’expressió de coordenades pel cosinus a la fórmula sinusoïdal. Després d'això, només queda escriure el resultat en la fórmula de l'àrea del paral·lelograma. Si tot això es fa i es simplifica l’expressió numèrica, aleshores resulta que S = a1 • b2-a2 • b1. Així, l’àrea del paral·lelograma construït sobre els vectors A (a1, a2) i B (b1, b2) es troba mitjançant la fórmula S = a1 • b2-a2 • b1.

6

L’expressió resultant és el determinant de la matriu composta per les coordenades dels vectors A i B: a1 a2b1 b2.

7

De fet, per obtenir un determinant d’una matriu de dimensió dos, hem de multiplicar els elements de la diagonal principal (a1, b2) i restar d’això el producte dels elements de la diagonal lateral (a2, b1).