Com resoldre equacions amb arrels
Vídeo: Equacions Irracionals / amb radicals 2024, Juliol
De vegades a les equacions hi ha un signe de l’arrel. A molts estudiants sembla que és molt difícil resoldre aquestes equacions “amb arrels” o, més correctament, equacions irracionals, però no és així.
Manual d’instruccions
1
A diferència d'altres tipus d'equacions, per exemple, sistemes quadrats o lineals d'equacions, no hi ha cap algoritme estàndard per resoldre equacions amb arrels, o més precisament, equacions irracionals. En cada cas concret, cal seleccionar el mètode de solució més adequat en funció de la "aparença" i de les característiques de l'equació.
L’augment de parts de l’equació al mateix grau.
Molt sovint, per resoldre equacions amb arrels (equacions irracionals), s’utilitza la pujada d’ambdues cares de l’equació al mateix grau. Per regla general, fins a un grau igual al grau de l’arrel (quadrat per a l’arrel quadrada, cub per l’arrel cúbica). Cal tenir en compte que, quan eleva els costats esquerre i dret de l’equació fins a un grau uniforme, pot tenir arrels “addicionals”. Per tant, en aquest cas, cal comprovar les arrels obtingudes substituint-les en l’equació. S’ha de prestar una atenció especial a la resolució d’equacions amb arrels quadrades (parells) al rang de valors admissibles de la variable (ODZ). De vegades, l’estimació de l’ODL per si sola és suficient per resoldre o simplificar significativament l’equació.
Un exemple. Resol l'equació:
√ (5x-16) = x-2
Quadrem les dues cares de l’equació:
(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², d'on obtenim successivament:
5x-16 = x²-4x + 4
h²-4x + 4-5x + 16 = 0
h²-9x + 20 = 0
Solucionant l’equació quadràtica obtinguda, trobem les seves arrels:
x = (9 ± √ (81-4 * 1 * 20)) / (2 * 1)
x = (9 ± 1) / 2
x1 = 4, x2 = 5
Substituint les dues arrels trobades a l’equació original, obtenim la igualtat correcta. Per tant, tots dos nombres són solucions de l’equació.
2
Mètode per introduir una nova variable.
De vegades és més convenient trobar les arrels d’una “equació amb les arrels” (una equació irracional) introduint noves variables. De fet, l’essència d’aquest mètode es redueix simplement a un registre més compacte de la solució, és a dir. en comptes d'escriure cada cop una expressió voluminosa, se substitueix per una llegenda.
Un exemple. Resol l'equació: 2x + √x-3 = 0
Podeu resoldre aquesta equació quadrant les dues cares. Tanmateix, els propis càlculs es veuran força molestos. Amb la introducció d’una nova variable, el procés de decisió resultarà molt més elegant:
Introduïm una nova variable: y = √ x
Llavors, obtenim l’equació quadràtica ordinària:
2y² + y-3 = 0, amb la variable y.
Solucionant l'equació resultant, trobem dues arrels:
y1 = 1 i y2 = -3 / 2, substituint les arrels trobades en l’expressió per la nova variable (y), obtenim:
√ x = 1 i √ x = -3 / 2.
Com que el valor arrel quadrat no pot ser un nombre negatiu (si no toqueu l’àrea de nombres complexos), obtenim l’única solució:
x = 1.