Com es troba l’àrea d’un segment circular

Un dels problemes geomètrics comuns és calcular l’àrea d’un segment circular: la part d’un cercle delimitada per un acord i el corresponent acord d’un arc d’un cercle.

L'àrea del segment circular és igual a la diferència entre l'àrea del sector circular corresponent i l'àrea del triangle format pels radis del segment corresponent del sector i l'acord que limita el segment.

Exemple 1

La longitud de l'acord que contrau un cercle és igual al valor de a. La mesura de grau de l’arc corresponent a l’acord és de 60 °. Busqueu l’àrea del segment circular.

Solució

Un triangle format per dos radis i un acord és isòsceles, per la qual cosa l'altura dibuixada des de la part superior de l'angle central fins al costat del triangle format per l'acord també serà la bisectriu de l'angle central, la meitat i la meitat, reduint la meitat de l'acord. Sabent que el sinus de l’angle en un triangle d’angle dret és igual a la relació del costat oposat a la hipotenusa, podem calcular el radi:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

L’àrea del sector corresponent a un angle donat es pot calcular mitjançant la següent fórmula:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

L’àrea del triangle corresponent al sector es calcula de la manera següent:

S ▲ = 1/2 * ah, on h és l'altura dibuixada des de la part superior de l'angle central per a l'acord. Pel teorema de Pitàgores, h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

D’acord amb això, S ▲ = √3 / 4 * a².

L'àrea del segment, calculada com a Sseg = Sc - S ▲, és igual a:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Substituint un valor numèric en lloc d’un, podeu calcular fàcilment el valor numèric de l’àrea del segment.

Exemple 2

El radi del cercle és igual a a. La mesura de grau de l’arc corresponent al segment és de 60 °. Busqueu l’àrea del segment circular.