Com resoldre sistemes d'equacions

No és difícil resoldre el sistema d'equacions mitjançant els mètodes bàsics per a la resolució de sistemes d'equacions lineals: el mètode de substitució i el mètode d'addició.

Manual d’instruccions

1

Considerem els mètodes per resoldre un sistema d' equacions mitjançant un exemple d'un sistema de dues equacions lineals amb dos valors desconeguts. En termes generals, aquest sistema s’escriu de la manera següent (a l’esquerra, les equacions es combinen amb un claudàtor):

ax + b = c

dx + ey = f, on

a, b, c, d, e, f són els coeficients (nombres específics), i x i y, com és habitual, es desconeixen. Els nombres a, b, c, d s’anomenen coeficients per a incògnites, i c i f s’anomenen termes lliures. La solució d’aquest sistema d’equacions es troba mitjançant dos mètodes principals.

La solució del sistema d'equacions pel mètode de substitució.

1. Prenem la primera equació i expressem una de les incògnites (x) en termes dels coeficients i l'altra incògnita (y):

x = (s-by) / a

2. Substituïu l’expressió obtinguda per x a la segona equació:

d (c-per) / a + ey = f

3. Resolent l'equació resultant, trobem l'expressió per a y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Substitueix l’expressió resultant per y a l’expressió per x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Exemple: cal resoldre un sistema d'equacions:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Trobeu el valor de x des de la primera equació:

x = (2y + 4) / 3

Substitueix l’expressió resultant en la segona equació i obté una equació amb una variable (y):

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, d'on obtenim:

y = 1

Ara substituïm el valor trobat de y en l’expressió per la variable x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Resposta: x = 2, y = 1.

2

La solució del sistema d'equacions mitjançant el mètode de suma (resta).

Aquest mètode es redueix a multiplicar les dues cares de les equacions per nombres (paràmetres) de manera que, com a resultat, coincideixen els coeficients d’una de les variables (possiblement amb el signe oposat).

En el cas general, les dues cares de la primera equació s’han de multiplicar per (-d), i les dues cares de la segona equació per a. Com a resultat, obtenim:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Afegint les equacions resultants, obtenim:

-bdu + aeu = -cd + af, d'on obtenim l'expressió per a la variable y:

y = (af-cd) / (ae-bd), substituint l’expressió per y en qualsevol equació del sistema, obtenim:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

d’aquesta equació trobem la segona incògnita:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Un exemple. Resol el sistema d'equacions sumant o restant:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Multiplica la primera equació per (-1) i la segona per 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Afegint (terme per terme) les dues equacions, obtenim:

11y = 11

On arribem:

y = 1

Substituïm el valor obtingut per y a qualsevol de les equacions, per exemple, a la segona, obtenim:

3x + 9 = 15, d'on?

x = 2

Resposta: x = 2, y = 1.